Бином Ньютона

В параграфах, посвященных формулам сокращенного умножения (Таблица 1) были рассмотрены частные случаи формул бинома (х+у)ⁿ - только для целых положительных n от 1 до 6.

Теперь обобщим разложение бинома на более общий случай. Будем считать n произвольным целым положительным числом.

Все рассмотренные материалы этого параграфа сильно переплетаются с материалами параграфов «Формулы сокращенного умножения" для обоих случаев - "степень суммы и степень разности", или "сумма степеней и разность степеней", «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика».

Утверждение. Для любого целого и положительного числа  n  и  для произвольных  x  и  y  выполняется формула бинома Ньютона:

где выражение                                       

определяет число сочетаний из n элементов по к.

      Числа сочетаний из формулы (1) называются биномиальными коэффициентами или коэффициентами разложения .

      Если в  (1) поменять знаки , т.е.  y  на  – y ,   то получится формула  n - ой степени разности:

В качестве напоминания представим треугольник Паскаля в следующей таблице:

Треугольник Паскаля можно переписать если мы будем использовать биноминальные коэффициенты: