Золотое отношение

Пусть нам дан отрезок MN. Точка С расположена внутри этого отрезка. Тогда точка С делит отрезок MN в золотом отношении при выполнении условия MN:MC=MC:CN. При этом, именно отношение MN:MC и называется золотым отношением.

Иногда "золотое отношение" называют золотая пропорция или золотое сечение. Обычно, следуя традиции, это отношение обозначают греческой буквой . Для определения величины  введем следующие обозначения:

|MN| = x, |MC| = y. В этих обозначениях длина отрезка CN будет равна: |CN| = x-y. При этом должны выполняться следующие неравенства: x > 0,   y > 0  и x - y > 0.

При выполнении золотого отношения выполняется следующее уравнение:

,

где

Для переменной  получим следующее уравнение:

Таким образом:

Так как >1, то второй корень не удовлетворяет решению.

Наконец, получаем золотое сечение:

Золотое сечение может встретиться совершенно в неожиданных областях деятельности человека.

Особенно часто золотое сечение встречается в планиметрии. Для примера рассмотрим правильный пятиугольник А₁А₂А₃А₄А₅. Как и любой правильный многоугольник он может быть вписан в окружность. Пусть этот пятиугольник вписан в окружность радиуса R с центром О.